滌塵有志 – 第 2 頁 – 數學化教學工作站

一位數乘兩位數、三位數

學會了背誦十以內的乘法，下一個問題便是「超過10的乘法，該怎麼計算？」。家長可先通過以下錄影了解整個教學的過程，然後下載工作紙模仿影片，帶著學童學習。

溫習

通過下一情景帶出「我們只會背誦10以内的乘法，該怎麼找出16×7的結果？」這個問題，然後學習透過分割點陣的方式，用已學的知識去解決一些未學的內容。

活動一:
按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Activity01
按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Activity01 <<< 相關工作紙下載 ( 活動紙一.doc ; 活動紙一.pdf )

不妨讓學童動動腦筋，看看還有無其它的分割方法。

23×7又如何分割呢？家長可先讓學童嘗試找出結果，再觀察影片中不同的分割方法。

活動二:
按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Activity02

按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Activity02 <<< 相關工作紙下載 ( 活動紙二.doc ; 活動紙二.pdf ) < 方法一>

< 方法二>

<方法三>

<小總結>

此時，家長提出「雖然用分割的方法，依然可以找出答案。但當數越來越大時，需要分割的次數便會越多。若用1「條」代替10「粒」，然後分開「條」、「粒」來計算，便可以分2份就找到答案。」

活動三:
按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Activity03

按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Activity03 <<< 相關工作紙下載 ( 活動紙三.doc ; 活動紙三.pdf )

這種分開「條」、「粒」來計算的過程可以用直式表示。家長可按照以下次序，由淺入深，和學童一起合作，一邊擺「塊」、「條」、「粒」十進積木，一邊在直式上記錄。逐步操作，逐步記錄，一一對應，從而令學童理解乘法直式的原理。

活動四:
按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Activity04

按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Activity04

按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Exercise01

按此下載Multiplying_2_Digits_by_1_Digit_Exercise01 <<< 相關工作紙下載 ( 活動紙四.doc ; 活動紙四.pdf ; 階段練習一.doc; 階段練習一.pdf) 題目：31 x 2 = ？ <<< 不含進位的乘法

題目：24 x 3 = ？ <<< 一次進位的乘法（10粒換成1條，進1）

題目：23 x 7 = ？ <<< 一次進位的乘法（20粒換成2條，進2）

題目：23 x 9 = ？ <<< 兩次進位的乘法

一位數乘三位數和一位數乘兩位數的計算方法無異，只不過需要分開「塊」、「條」、「粒」三部分計算而已。

活動五:
按此下載Multiplying_3_Digits_by_1_Digit_Activity05
按此下載Multiplying_3_Digits_by_1_Digit_Activity05
按此下載Multiplying_3_Digits_by_1_Digit_Exercise02
按此下載Multiplying_3_Digits_by_1_Digit_Exercise02 <<< 相關工作紙下載 ( 活動紙五.doc ; 活動紙五.pdf ; 階段練習二.doc; 階段練習二.pdf) 題目：123x5

感謝教院師妹鍾寶恩、李麗娟、張曉恩辛苦錄製以上錄影。

19/09/2018/通過：滌塵

乘法的基本概念

乘法

「桌上有壽司9碟，每碟有壽司2件，桌上共有壽司多少件？」

算式應該是9×2，還是2×9？這是初小學童常常存在的問題。

「9×2」和「2×9」雖然結果相同，但是在情景中所表達的意思卻是不同的。乘式中，我們約定，乘號前面的數是「被乘數」，表示被重複的數，而乘號後面的數則是「乘數」，表示重複出現了多少次。許多學童在對「被乘數」及「乘數」的概念掌握得不好，因此處理應用題時分不清應該哪個數先、哪個數後。

乘法這一課題，它的數學學理其實非常的簡單。學童學不好的原因則多數是因爲這課中包含了太多抽象的詞語或句子，例如「被乘數」、「乘數」、「A的B倍」、「B個A」等。如果同一時間學習，工作記憶較短的學童則會感到吃力。

此處提出在學習乘法概念時，先使用較淺顯的語言，配合圖畫，幫助學童理解乘法的意義。直到學童掌握了數理之後，才逐一教授更「數學」的表達方法。

乘法概念的引入

1. 桌上有壽司9碟，每碟有壽司2件，桌上共有壽司多少件？

解答：因壽司有9碟，所以2件壽司重複連加，出現了9次。

但這種連加的算式寫法太麻煩！為了要簡化它的寫法，我們用

這個算式就是乘法算式，中間的符號叫「乘號」。有了這個表示方法，以往很多繁瑣的連加算式都可以簡化：

3 重複連加 7 次，可用乘法算式表示：

應用題練習
按此下載Multiplication_Word Problems
按此下載Multiplication_Word Problems <<< 相關工作紙下載（乘法應用題.doc ；乘法應用題.pdf ）當介紹了乘法算式的寫法及意義後，可通過以下活動幫助學童理解及內化。圖畫和語言是幫助學童理解數學的關鍵，亦是理解應用題的基礎，家長值得在此處多花一些時間。練習A 看圖講故事、寫算式可先由一些常見的數學情景入手（例一、二），再過渡到用「圓圈圖」表示乘法的情景（例三）。例一：

例二：

例三：

在書寫算式時，由於有讀寫障礙的學童容易混淆左右、前後的方向，因此可以先提供算式各部分的内容提示，然後逐漸抽離提示，直到學童能自行寫出正確的算式。

練習B：聽(看)故事、畫圖、寫算式

家長應帶著學童，讀一句句子，想一想題目說了什麽，在紙上畫出來，然後再讀第二句，再接著畫出來，逐句理解題目。最後，由圖畫内容找出問題的答案。

畫圖是幫助學童理解題目及思考問題的一種工具。「逐句讀、逐句畫」目的在於減輕學童一次性處理大量文字資訊的負擔，並養成仔細閲讀題目的習慣。

在解答簡單的應用題時，畫圖好像顯得多餘，但仍應要求學童畫。這是為日後幫助學童處理複雜的應用情景而打下基礎。特別對於處理文字訊息能力較弱的學童而言，畫圖是幫助他們處理複雜應用題時，梳理文字訊息的重要工具！

當學童已能理解題目中的意思后，則應教其模仿「圓圈圖」的表示方法，簡單而直接的表達題目意思。

理解了乘法概念，卻不想每一次都要通過加法緩慢地找出結果，唯有通過背誦「乘數表（九因歌）」熟記連加的結果了。

14/09/2018/通過：滌塵

18以內的加減

加法, 減法

不論在日常教學，還是在此次研究之中，我們都發現不少兩位數或三位數加減計算欠佳的學生，並非是因為不懂得直式的計算過程，而是因為缺乏一套有系統的、可靠的計算「18以內加減」的方法。

「18以內加減」是所有加減計算的基礎。我們以計算「452-168=?」為例：計算時，只要將「452」和「168」按位值對齊、寫成直式，一旦懂得如何退位，接下來的步驟便完全回歸到18以內的減法。如下圖：

可惜的是「18以內加減」的學習內容並未得到學生、家長甚至學校的重視。一方面是大家以為此部分內容太過簡單，誤認為學生表現得好壞只與練習的多少相關；另一方面則是由於學生幼稚園的學習經歷不同，一年級的班房內學生差異極大，不少教師見多數學生都會，便輕視了教學過程。因而，導致學生「18以內加減」計算結果時對時錯，而大人們也以學生「粗心大意」為理由胡亂讓學生過關了。

學習「18以內加減」需要經過「實物操作」、「畫圖計算」、「數手指計算」及練習這四個階段，此處只針對前三者進行介紹。「實物操作」幫助學童從概念上理解「加減」的含意；「畫圖計算」則是打通「數學符號」與「實物操作」的媒介；「數手指計算」將介紹給學童一個簡單、可靠的數手指的系統，令他們能夠時時都能夠準確計算答案﹝不少學生都有「自創」的數手指方法，但往往由於缺乏系統導致計錯數﹞。相信不少家長都會存在「怕孩子太過依賴而遲遲未能擺脫數手指」的擔憂，這一點馮教授所言極是：

「數手指也可稱為「永備計算機」，是人類隨身的計算工具。不容許小孩用手指計算，與不容許嬰兒先學爬行再學走路，可算是同樣地不近人情。擔心小孩長期依賴手指的人，可能並未注意「有系統地數手指」和「胡亂地數手指」的差別。前者不單可滿足計算答案的需要，更可加強數感；後者通常是雜亂無章的嘗試，不一定有助計算，更遑論加強數感。掌握「有系統地數手指」的學生，會較容易把手中計算過程搬進腦袋，只有「胡亂地數手指」的，才會摸不着竅門，長期依賴。即使有些學生遲遲未能擺脫數手指，也是其個人實質的需要，不應過於打壓，只要在學習二年級乘法之前能心算18 或以內的加減，往後的學習不會遇上問題。教師在學生掌握了「有系統地數手指」之後，可逐步加入「在心中數」的要求。隨着計算經驗增加，對數的組合也日見熟習，慢慢地就不會再依賴數手指了。」(馮振業、陳麗萍等，2012)

事實的確如此。我們見到不少學生由於怕家長或教師不允許數手指，結果在做功課或考試時面對簡單計算題因「不記得答案」而停在那裏束手無策。更有稍為懂變通的小朋友偷偷用一隻手在櫃桶裏數手指，結果「數也數錯」。既然學童有「數手指」的需要，不妨允許他們數，至少讓他們知道自己有一個「永備的計算機」，當自己想不到答案的時候便可以借來用一下。而若學生已經有信心完成計算時，家長則可從提高速度的方面鼓勵學生慢慢減少數手指的次數。

14/09/2018/通過：滌塵

「實物操作」及「畫圖計算」—-加法,減法

加法, 減法

首先我們要讓學童了解加法算式的含意，符號「+」代表「合起來」，而「=」代表「所得結果」，整條算式即是問「兩個數合起來是多少？」。在和學童進行實物操作時，應當刻意地把操作過程、文字意思(語言表達)和符號三者對應起來。每進行一次操作，都宜口述「A+B=? 即是問A 和B 合起來是多少」。家長或教師更應當鼓勵學童口述此句句子，它將是幫助學童理解或探討數學問題的語言基礎。

影片：以「6+7=?」為例，通過實物操作介紹加法算式的含意。

當熟悉上述過程後，以下方法則可幫助縮減數算結果的過程。即由第一個數開始往上數而得到結果。

更快的方法可以如下：

接下來，便是「畫圖計算」。圖畫不必複雜，只需要畫圓點(圈)就已經可以很簡潔、很清楚地表示數量了。

影片：以「8+5=?」為例，通過畫圖的方法計算加法。

「實物操作」及「畫圖計算」—-減法

減法算式的含意，符號「-」代表「取走」，而「=」代表「所得結果」，整條算式「A-B=? 即是問由A 中取走B 的數量結果是多少」。在和學童進行實物操作時，應當刻意地把操作過程、文字意思(語言表達)和符號三者對應起來。家長或教師更應當鼓勵學童進行口述練習，它將是幫助學童理解或探討數學問題的語言基礎。

影片：以「13-7=?」為例，通過實物操作介紹加法算式的含意。

當熟悉上述過程後，以下方法則可幫助縮減數算結果的過程。即由第一個數開始往下倒數而得到結果。

接下來，便是「畫圖計算」。圖畫不必複雜，只需要畫圓點(圈)就已經可以很簡潔、很清楚地表示數量了。

影片：以「14-6=?」為例，通過畫圖的方法計算減法。

「數手指計算18以內的加減法」

數手指系統，是把算式「A ±B = C」中的A的數量放在心裏，B的數量用手指表示，C的數量則由嘴巴說出。

影片：以「6+7=?」為例，通過數手指計算加法。

影片：以「13-7=?」為例，通過數手指計算減法。

我們還可以用「數手指」的方法計算「A+ ? =C」及「A – ? =C」的問題。

影片：以「7+?=13」為例，通過數手指計算「A+ ? =C」的問題。

影片：以「13-?=7」為例，通過數手指計算「A – ? =C」的問題。

總結「數手指的系統」

在「數手指的系統」中，A 必須是已知，要找B 和C 任何一項，只要其餘的都知道就行。找B 時答案顯示於手指上，找C 時答案由口唸出。算「加」便從A 開始順數，算「減」便從A 開始倒數。已知B 的時候收手指，直至雙手握拳，口唸的就是答案；已知C 的時候翻開手指，直至口唸出C 的數值，豎起的手指就是答案。

參考資料：

馮振業、陳麗萍等﹝2012﹞。校本單元數學學習套-教師用書，牛津大學出版社，香港。

12/09/2018/通過：滌塵

位值(二) 比較數的大小, 鞏固及運用位值的觀念

數與位值

位值(二)側重於讓學童聯繫「十進積木」運用位值的觀念去比較「數」的大小。在學習此內容時，家長宜先用一位數以及兩位數與學童討論比較兩個數大小的方法，當學童掌握了其中的數理後，才延伸至三位數、四位數或更多位數大小的比較。當位數較少時，學童需要顧及的訊息量就會較低，這有利於他們發現和總結兩個數比較大小的方法。而當其內化了方法以及其中的原理後，再進入到更多位數的討論，就會輕鬆一些。

活動一通過「一一對應」的方法比較數的大小

家長可先展示A、B兩組數粒（圖3－1），詢問學童若不用數，怎樣可知道那一堆的數量較多，那一堆較少？

（圖3－1）

家長可與學童一起，一人負責A組，另一人負責B組。一人拿一粒對齊，把兩組數粒一對一排列進行比較。結果發現B已經用完所有數粒（圖3－2），而A還多出了1粒，因此得到結果：「A 比B 多」，也可以說「B 比A 少」。在進行比較多少的活動中，每找出一次結果，家長都應要求學生以「( )比( )多」以及「( )比( )少」的句式來匯報結果，語言的訓練一方面可幫助學生理解自己所學習內容，另一方面也是豐富他的語言，方便日後與別人溝通。

（圖3－2）通過一對一排列，可以知道: 「A 比B 多」，而「B 比A 少」。

活動二比較26和23兩個數的大小

當學童已掌握多的概念和方法後，便可讓學童比較26和23兩個數的大小（圖3－3）。家長可與學童一起，一人負責26，另一人負責23。由於26和23都各有2條，即十位相同，而個位的「粒」卻是26比較多（圖3－4）。因此，可以知道「26 比23 多」，而「23 比26 少」。

（圖3－3）－＞（圖3－4）

活動三比較29和32兩個數的大小

活動二中學童可能會說「因為6大過3，所以26比較大」，若單從26和23而言，碰巧數字6和3都是在個位，而十位數字也正好相同，因此最後結果的確是26較大。接下來的活動三就是要幫助學生發現自己方法的漏洞，從而形成一套時時有效比較大小的方法。

家長可抓住學生上述較粗疏的結論，故意運用到29和32的比較上來。在擺出29和32粒數粒前，先讓學童估一估哪個數較大。家長可裝模作樣地說：「29和32中，9又大過2，肯定29大過32！」。家長可以盡可能誇張地表述這句話，從而引發他的動機和興趣。不論他是否同意家長的想法，接下來「一一對應」拿出相同數量數粒的活動，都將刺激他反思「單憑數字就決定大小」這種方法的不足。

家長與學童照例「一一對應」拿出相同數量的數粒，當每人各拿出了2條後，家長可故意在此停一停，讓學童根據現在的情況（圖3－5）再估一估結果。

（圖3－5）－＞（圖3－6）

此次停下的目的則是要讓他觀察發現並解釋「29的個位的數字儘管很大，但只能表示9粒，而32比29十位多出來的1條雖然數字很小，但因為在十位，表示1條即是10粒，肯定比9粒要多」。由此知道在比較大小時還要考慮「位值」。絕大多數學生在此時都能觀察到結果32會比29大，只欠能否用語言表述清楚原因。表述的過程實際是促發學童自發通過實物去聯繫各數字進行數學討論，從中釐清自己的思路，並加以內化。家長若發現小朋友不懂表達，則可和他一起運用前面「一一對應」的方法來引導他思考（圖3－7）。

（圖3－7）

從而得出結論，由於3條比2條多了1條，而這1條有10粒，10粒大過9粒，因此，可以知道「29 比32少」，而「32 比29多」。

接下來，家長可鼓勵學生比較活動二和活動三，詢問為何活動二時我們只需要比較個位而活動三這個方法卻行不通。學童表述的過程實際是學童釐清自己思路、組織和內化活動經驗的重要時刻。語言不順暢、或者詞不達意的情況實屬正常。家長應儘量讓學童先表述，並鼓勵其使用「粒、條」幫助自己表達。家長可使用「你是不是在說……？」或者「你的意思是……？」這些句子來幫助學童知道如何正確的表達，以及反思自己的語言或思路錯誤。

通過比較兩位數的大小，家長和學童可總結出：比較兩位數的大小時，我們應先看位值較高的十位，十位數字大整個數就大，十位數字小整個數就小；十位相同才看個位，個位數字大整個數就大，個位數字小整個數就小。

當學生掌握了比較大小的方法和其中的原理後，便可進入到三位數比較。三位數比較大小方法與兩位數無異，學習的軌道也可照活動二和三進行。

活動四比較523和519的大小

因為學生已有比較兩個數大小的經驗，家長可先讓學童自己嘗試去比較，而後家長再用回上述「一一對應」的方法和學童一同驗證結果。在百位相同時，三位數的大小比較與兩位數比較完全一樣。即百位數字相同，則比較十位數字的大小，若十位數字相同則繼續比較個位數字的大小。

活動五比較235和199的大小

經過活動四後，緊接著的問題就是，當百位數字不同時又該如何比較大小？以235和199為例，家長可先讓學童先自己嘗試比較，然後再一起用「粒、條、塊」去驗證結果。其中，我們需要讓學童留意到，當百位數字較大時，不論另一個數的十位和個位數字有多大，它的數值都不可能超過百位較大的數值。活動的過程可如下（圖3-8至圖3-10）。

（圖3－8）：取出235粒和199粒數粒

（圖3－9）：「一一對應」進行比較，先從235和199中各拿出了1塊（即100粒）比較，暫時未能分出大小。

（圖3－10）：從235中再拿多1塊（拿多了100粒），但199中已經沒有塊了，則用剩下的條和粒與它比較。結果發現，用盡了所有的條和粒（只得99粒），都未夠1塊的數粒的數量多。因此，235比199多，而199比235少。

活動六比較110和99的大小

最後與學童討論110與99的大小，從而引出比較兩個數的數量時，需要先看清楚數字的位值再進行比較，如110和99之中，110的左邊第一個數字是1，表示的是1塊，即100，而99的左邊第一個數字雖然是9，但表示的是9條，即90，因此數值較小。家長可與學童總結，當比較兩個數大小時，引先對齊數位才開始比較數的大小（圖3－11）。

（圖3－11）

總結

通過以上活動，可為學童總結成比較大小的程序：先對齊數位，然後由最高的數位﹝最左邊的數位﹞的數字開始比較。如果數字相同，再比較第二高的數位﹝由左邊開始的第二個數位﹞。依次類推，直到數字不同，分出大小。

07/09/2018/通過：滌塵

位值(一)

數與位值

「位值」的意義（一）: 由「十進積木」認識個、十、百、千

多位數的運算（無論加、減、乘、除）必須先掌握「位值」的意義。「位值」是大數量運算的基礎，家長切勿因心急而跳過了這一重要學習過程。俱觀察，數學運算表現不理想的學童，雖已經學到多位數，對「A在___位，表示___」這些句子琅琅上口，但他們大多數對位值的了解都只是停留在一個非常表面的層次。以下列舉了部分常見的，因位值認識不足而導致的錯誤。

（圖2-1）

（圖2-2）

（圖2-3）

（圖2-4）

「位值」的意義（一）及（二）介紹了以「十進積木」（圖2-5）教授學童學習「位值」的方法。「十進積木」能夠形象化地顯示位值及計算過程，是理想的數學教具。對於一些對文字符號理解能力較弱的學生而言，「十進積木」的威力還體現于它能夠具體的展示出一個數字在某個數位上所代表的真實數量，使小學階段大部分關於「數」的討論可以變得形象化。

（圖2-5）

家長可通過這兩節的活動，讓學童在「數」中玩耍一番，感受不同位值上的數字所代表數量的差別，體會「位值」的意義。只有當觀察到學童具有文章（二）末尾所描述表現時，家長才可開始與其討論數的運算。

活動一滿10粒組成1條，建立位值觀念

a) 先讓學童將數粒每10粒組成一條，可盡量給學童砌多幾條，並一邊數已經砌成了幾十粒（例如砌了5條，即50粒），從而讓他們對「幾十」有一個具體的概念。家長可和學童一起砌，並不時詢問「我們現在已經砌了多少條？即是多少粒？」。家長應要求學童用完整句子回答，以幫助其發展數學語言。

（圖2-6）

b) 將已砌好每10粒組成1條的數粒放在一邊備用，並另外準備一堆（一粒粒未砌）的數粒。

第一次只允許小朋友從一堆一粒粒未砌的數粒中取出43粒（圖2-7）；

第二次允許使用已砌好每10粒組成1條的數粒及其它數粒，取出43粒（圖2-8）；

完成後，詢問學童，若期望取出較大的數量(如43、82、99等)，哪種方法較為方便？為甚麼？

（圖2-7）

（圖2-8）

c) 詢問學童如果砌成8粒或13粒一條，又能否有那麼方便？若學童不理解這句話，家長可親自砌成8粒或13粒一條的數粒給學生使用，然後再詢問。

由學童的話帶出43有4個十和3個一組成，右邊第一個數字是在個位，上面的數字代表多少「粒」；右邊第二個數字是在十位，代表多少「條」，即「幾十粒」；

活動二讓學童練習由數取量，由量讀數等活動，鞏固其位值概念。

a) 家長寫出一個數，讓學童取出相應的數量的數粒（圖2-9）；

（圖2-9）

b) 家長取出一定數量的數粒，讓學童寫出及說出相應的條數、粒數以及相應的數（圖2-10）

（圖2-10）

c) 家長讀一個數，讓學童取出相應數量的數粒，並寫出相應的條數、粒數以及對應的數（圖2-11）。

（圖2-11）

活動三認識百位及千位及練習

a) 由學生數出10條數粒的數量，由此認識10個十就是100，並通過將10條砌成「1塊」，認識像正方形一樣的「1塊」就表示100。然後如同活動二，重複由數取量，由量讀數等活動，鞏固其三位數位值概念。

（圖2-12）

（圖2-13）

b) 此後再由學生數出10塊數粒的數量，由此認識10個一百就是1000，並通過將10塊砌成「1件」，認識像正方體一樣的「1件」就表示1000（圖2-13）。然後如同活動二，重複由數取量，由量讀數等活動，鞏固其四位數的位值概念。

（圖2-14）

最後，家長應與學童重溫：滿10粒就可以砌成1條(即10粒)，滿10條就可以砌成1塊(即100粒)，滿10塊就可以砌成1件(即1000粒)。從而，讓學童掌握「滿十」就可以用更大的一個「物件」表示，即「十進系統」內的「進位」的實際含義。反過來，1件可拆開成10塊，1塊可以拆開成10條，而1條又可拆開成10粒。這個拆開的過程，亦即是「退位」的實際含義。

07/09/2018/通過：滌塵

兩位數及三位數的加法

加法

加法即是將兩堆或多堆物件的數量合起來，找出總共的數量是多少。

學習兩位數的加法，可以運用位值板和十進積木，親身體驗實物操的過程如何與直式呼應，便可學會直式計算。家長可教學童如影片中一樣，每操作一步，便在直式上記錄。若學童不能同時兼顧實物操作和直式記錄，家長可用以下方法進行協助：

學童負責在位值板上操作十進積木，同時家長負責在直式上記錄，以兩人合作的方式，確保操作和直式逐步對應。
交換工作，家長負責在位值板上操作十進積木，同時學童負責在直式上記錄，以兩人合作的方式，確保操作和直式逐步對應。
而當學童已完全理解直式運算的實際含義后，家長則可鼓勵學童脫離十進積木，眼看直式，在腦中想著對應的積木，進行計算。

（十進積木的圖片可按此下載）

影片一：利用位值板和十進積木，進行32+41=？的計算。